definition
Affine Transformation
Linear Transformation + Translate
线性变换 (Linear Transformation)： 你可以对这个网格进行 旋转 (Rotate)、缩放 (Scale)、切变 (Shear)。
Canonical
Coordinate Transformations
我们可以简单地视为“改变该点所处的坐标系”例如，在图
点 $(2, 1)$ 应用了一个“平移 $(-1, 0)$”的变换。右上角的图是当我们把这个变换看作物理运动（点在动）时的心理图像，而右下角的图是当我们把这个变换看作坐标改变（在此例中是坐标原点的移动）时的心理图像。图中那个虚构的边界框仅仅是一种示意手段，在两种情况下，坐标轴和点的相对位置实际上是完全相同的。
我们看到了两种可视化运动的方式。在不同的语境下，这两种解释可能各有优劣（某种解释可能更合适）。
例如，一个驾驶游戏可能包含一个城市的模型和一个汽车的模型。如果呈现给玩家的是透过挡风玻璃向外看的视角，那么车内的物体在屏幕上的绘制位置总是固定的，而随着玩家驾驶，街道和建筑物则显得
在向后移动。在每一帧中，我们都对这些（车外的）物体应用一个变换，使它们比上一帧的位置更靠后。理解这种操作的一种方式是简单地认为它将建筑物向后移动了；另一种理解方式是，建筑物保持静止，但我们想要用来绘制它们的坐标系——即附着在汽车上的坐标系——正在（向前）移动。在第二种解释中，变换是在改变城市几何体的坐标，将其表示为“汽车坐标系”中的坐标。这就导致了（无论你用哪种方式理解），应用在车外几何体上的矩阵都是完全相同的。
如果游戏还支持俯视视角（overhead view）来显示汽车在城市中的位置，那么建筑物和街道就需要绘制在固定的位置，而汽车则需要在每一帧之间移动。同样的两种解释依然适用：我们可以将这种变化的变换理解为将汽车从其规范位置（canonical position，通常指模型原点）移动到世界中的当前位置；或者，我们也可以将其理解为仅仅改变了汽车几何体的坐标表示——即将其原本用“附着在汽车上的坐标系”表示的坐标，转换为用“相对于城市固定的坐标系”来表示。“坐标变换”这种解释方式清楚地表明，在这两种模式（城市到汽车的坐标变换 vs. 汽车到城市的坐标变换）中使用的矩阵，互为逆矩阵。改变坐标系的想法与编程中的类型转换（type conversions）概念非常相似。在我们将一个浮点数与一个整数相加之前，我们需要根据需求将整数转换为浮点数，或者将浮点数转换为整数，以便类型相匹配。同样地，在我们能够将城市和汽车画在一起之前，我们需要根据需求将城市转换为汽车坐标，或者将汽车转换为城市坐标，以便坐标系相匹配。当管理多个坐标系时，很容易混淆并导致物体处于错误的坐标系中，从而使它们出现在意想不到的位置。但只要对坐标系之间的变换进行系统性的思考，你就能可靠地得出正确的变换。在几何上，一个坐标系，或者叫坐标框架（coordinate frame），由一个原点和一个基底（basis）——即一组三个向量——组成。标准正交基（Orthonormal bases）（互相垂直且长度为1）非常方便，因此除非另有说明，我们通常假设坐标框架都是标准正交的。在一个原点为 $\mathbf{p}$ 且基底为 ${\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}}$ 的坐标框架中，坐标 $(u, v, w)$ 描述了点：
当我们在计算机中存储这些向量时，它们需要基于某种坐标系来表示。为了开始工作，我们必须指定某种规范坐标系（canonical coordinate system），通常称为‘全局坐标’（global coordinates）或‘世界坐标’（world coordinates），它被用来描述所有其他的坐标系统。在那个城市的例子中，我们可以采用街道网格作为参考，并约定 $x$ 轴沿着主街（Main Street）指向，$y$ 轴指向上方（天空），而 $z$ 轴沿着中央大道（Central Avenue）指向。这样一来，当我们用这些（世界）坐标来写出汽车坐标框架的原点和基底时，我们的意思就很清楚了。
在 2D 中，我们的惯例是使用点 $\mathbf{o}$ 作为原点，并使用 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 作为右手系的规范正交基向量。
点 p 可以用（这两个）坐标系中的任意一个来表示。
另一个坐标系可能拥有原点 $\mathbf{e}$ 以及右手系的规范正交基向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$。请注意，通常情况下，规范数据 $\mathbf{o}, \mathbf{x}, \mathbf{y}$ （指世界坐标原点和轴）从不会被显式地存储。它们是所有其他坐标系的参考系（frame-of-reference）。在该坐标系中，我们通常将 $\mathbf{p}$ 的位置记录为一个有序对，这是完整向量表达式的简写形式：
例如，在上图中，$(xp, y_p) = (2.5, 0.9)$。请注意，这个有序对 $(x_p, y_p)$ 隐式地假设了原点为 $\mathbf{o}$。同样地，我们可以用另一个方程来表示 $\mathbf{p}$：
在上图中，对应的值为 $(u_p, v_p) = (0.5, -0.7)$。同样，原点 $\mathbf{e}$ 被作为与 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 关联的坐标系的一个隐式部分而省略了。我们可以使用矩阵机制来表达同样的这种关系，如下所示：
注意，这里假设我们已经以规范坐标的形式存储了点 $\mathbf{e}$ 以及向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$；$(x, y)$ 坐标系是众系之首(first among equals)。就我们在本章中讨论的基本变换类型而言，这是一个旋转（涉及 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$），后面紧跟一个平移（涉及 $\mathbf{e}$）。观察这个结合了旋转和平移的矩阵，你会发现它非常容易写出来：我们只需要把 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 和 $\mathbf{e}$ 填入矩阵的列中，并在第三行填上通常的 $[0\ 0\ 1]$。为了让这一点更清楚，我们可以像这样写出矩阵：$$\mathbf{p}{xy} =
\begin{bmatrix} \mathbf{u} & \mathbf{v} & \mathbf{e} \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\mathbf{p}{uv}.\begin{bmatrix} u_p \ v_p \ 1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} x_u & y_u & 0 \ x_v & y_v & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & -x_e \ 0 & 1 & -y_e \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_p \ y_p \ 1 \end{bmatrix}.\mathbf{p}{uv} = \begin{bmatrix} \mathbf{u} & \mathbf{v} & \mathbf{e} \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \mathbf{p}{xy}.\mathbf{p}{uv} = \begin{bmatrix} \mathbf{x}{uv} & \mathbf{y}{uv} & \mathbf{o}{uv} \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \mathbf{p}{xy}.\mathbf{p}{uv} = \begin{bmatrix} \mathbf{x}{uv} & \mathbf{y}{uv} & \mathbf{o}{uv} \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \mathbf{p}{xy}.\begin{bmatrix} x_p \ y_p \ z_p \ 1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & x_e \ 0 & 1 & 0 & y_e \ 0 & 0 & 1 & z_e \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_u & x_v & x_w & 0 \ y_u & y_v & y_w & 0 \ z_u & z_v & z_w & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} u_p \ v_p \ w_p \ 1 \end{bmatrix}
\quad (6.8)\mathbf{p}{xyz} = \begin{bmatrix} \mathbf{u} & \mathbf{v} & \mathbf{w} & \mathbf{e} \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \mathbf{p}{uvw},\begin{bmatrix} u_p \ v_p \ w_p \ 1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} x_u & y_u & z_u & 0 \ x_v & y_v & z_v & 0 \ x_w & y_w & z_w & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_e \ 0 & 1 & 0 & -y_e \ 0 & 0 & 1 & -z_e \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_p \ y_p \ z_p \ 1 \end{bmatrix}
\quad (6.9)$$$$\mathbf{p}{uvw} = \begin{bmatrix} \mathbf{u} & \mathbf{v} & \mathbf{w} & \mathbf{e} \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \mathbf{p}_{xyz}.$$